개요
가군의 깊이(영어: depth)는 가환대수학과 호몰로지 대수학에서 뇌터 가환환 위의 유한 생성 가군의 "크기"나 복잡도를 측정하는 정수 불변량이다. 국소환의 경우 이 값은 크룰 차원 이하이며, 사영 차원과 깊은 관계를 맺는다. 위키데이터에서는 이를 "대수학에서 환과 가군의 불변량"으로 분류한다.[1]
역사·유래
깊이의 개념은 호몰로지 대수학의 발전과 함께 정립되었다. Ext 함자를 이용한 정의와 정칙렬을 이용한 특성화는 데이비드 리스(David Rees)의 정리에 의해 연결된다. 오슬랜더-북스바움 공식(Maurice Auslander와 David Buchsbaum)은 깊이와 사영 차원의 관계를 정립하여 이 불변량의 계산과 이론적 중요성을 크게 높였다. 관련 문헌으로는 아이젠버드(David Eisenbud)의 『Commutative algebra with a view toward algebraic geometry』(1995)와 브룬스-헤어초크(Winfried Bruns, Jürgen Herzog)의 『Cohen–Macaulay rings』(1993) 등이 있다.[3]
작동 방식과 유형
정의
뇌터 가환환 $R$, $R$의 아이디얼 $\mathfrak{a}$, 그리고 $\mathfrak{a}M \subsetneq M$을 만족하는 $R$의 유한 생성 가군 $M$이 주어졌을 때, $M$의 $\mathfrak{a}$-깊이는 다음 두 정수로 정의되며 이들은 서로 같다.[2][3]
1. Ext 함자를 이용한 정의:
$$\operatorname{depth}_{\mathfrak{a}}(M) = \min\{n : \operatorname{Ext}_R^n(R/\mathfrak{a}, M) \neq 0\}$$
즉, $\operatorname{Ext}_R^n(R/\mathfrak{a}, M)$이 0이 아니게 되는 가장 작은 차수 $n$이다.
2. 정칙렬을 이용한 정의 (리스의 정리):
$\mathfrak{a}$에 포함된 $M$의 정칙렬의 최대 길이이다. 리스의 정리에 따르면, 국소환 $(R, \mathfrak{m})$ 위에서 모든 최대 정칙렬 $x_1, \dots, x_n$ (각 $x_i \in \mathfrak{m}$)은 같은 길이 $n$을 가지며 이는 $\operatorname{depth}_{\mathfrak{m}}(M)$과 같다.[3]
국소환 $(R, \mathfrak{m})$ 자체의 깊이는 $R$을 자기 자신 위의 가군으로 보았을 때의 $\mathfrak{m}$-깊이로 정의된다.[3]
주요 성질
깊이와 크룰 차원의 부등식
가환 뇌터 국소환 $(R, \mathfrak{m})$ 위의 유한 생성 가군 $M$에 대해 다음이 성립한다.[2][3]
depth_{\mathfrak{m}} M \le \dim_R M
여기서 $\dim_R M$은 $M$의 크룰 차원이다. 등호가 성립할 때 $M$을 코헨-맥컬리 가군(Cohen-Macaulay module)이라고 하며, 환 $R$ 자체가 이 조건을 만족하면 코헨-맥컬리 환이라고 한다.[3]
깊이가 0인 조건
국소환 $(R, \mathfrak{m})$ 위의 유한 생성 가군 $M$에 대해 다음이 동치이다.[2]
* $\operatorname{depth}_{\mathfrak{m}} M = 0$
* $\mathfrak{m} \in \operatorname{Ass}_R M$ (극대 아이디얼이 $M$의 연관 소 아이디얼 집합에 속함)
환 $R$ 자체의 경우, 깊이가 0이라는 것은 극대 아이디얼 $\mathfrak{m}$이 연관 소 아이디얼이거나, 0이 아닌 원소 $x \in R$이 존재하여 $x\mathfrak{m} = 0$ (즉 $x$가 $\mathfrak{m}$을 소멸시킴)인 것과 동치이다. 이는 기하학적으로 "닫힌 점이 매몰 성분(embedded component)을 가짐"을 의미한다.[3]
예를 들어 체 $k$ 위의 환 $k[x,y]/(x^2, xy)$는 원점에서 깊이가 0이지만 차원은 1이므로 코헨-맥컬리 환이 아니다.[3]
오슬랜더-북스바움 공식
뇌터 가환 국소환 $(R, \mathfrak{m})$과 그 위의 유한 생성 가군 $M$에 대해, $M$의 사영 차원 $\operatorname{pd}_R M$이 유한하다면 다음이 성립한다.[2][3]
\operatorname{pd}_R M + \operatorname{depth}_{\mathfrak{m}} M = \operatorname{depth}_{\mathfrak{m}} R
이 공식은 깊이와 사영 차원이 상호 보완적 관계임을 보여주며, 이론적 중요성뿐만 아니라 깊이를 계산하는 효과적인 도구로도 쓰인다.[3]
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